Gogeneration: Kapasitas Pembangkitan Listrik dengan Pendekatan Probabilistik

Teori Probabilitas Dasar

Saya merekomendasikan untuk membaca terlebih dahulu buku Statistik dari Schaum’s Outlines bab 6 agar anda lebih mudah mengikuti pemaparan tentang kapasitas pembangkitan dengan pendekatan probabilistik. Ada yang mengatakan Probabilitas adalah peluang kemunculan suatu kejadian. Sebagian besar Probabilitas suatu kejadian akan bernilai di antara 0 (gagal / failure (f)) dan 1 (berhasil / success (s)) kecuali untuk kasus-kasus yang ekstrim.

Jika p = probabilitas keberhasilan, q = probabilitas kegagalan, s = jumlah keberhasilan, dan f = jumlah kegagalan, maka

$p=\frac{s}{s + f}$

$q=\frac{f}{s + f}$

dimana p + q = 1.

Selain itu kita perlu mengingat kembali konsep Kombinasi dan Permutasi. Kenapa? Agar kita dapat menganalisis dengan lebih efisien dibanding jika kita harus menuliskan satu-persatu kemungkinan kejadian-kejadian dalam analisis kita. Kombinasi berhubungan dengan banyaknya cara sebuah item dapat divariasikan/diatur namun tidak melihat urutan pengaturan tsb. Pada Permutasi, urutan pengaturan tsb. dilihat. Pada STL, kita akan lebih banyak membicarakan kombinasi. Kita lebih memperhatikan event-event mana, jika dikombinasikan, yang akan menyebabkan STL gagal, ketimbang urut-urutan event-eventnya (permutasi) yang menyebabkan sistem gagal.

Praktek Probabilitas dalam Enjiniring

Mungkin kita sering membaca tentang cara menghitung probabilitas sisi mana yang muncul pada sebuah koin. Semakin sering percobaannya maka, angka probabilitasnya semakin akurat. Dalam kenyataannya, deduksi data probabilitas kesuksesan atau kegagalan sebuah STL tidak dapat diperoleh melalui percobaan seperti koin tsb. Lantas apa yang dapat dilakukan ? Caranya dapat dengan membagi STL ke dalam beberapa level hirarki. Hirarki yang paling rendah dipilih (pembangkitan) yang data probabilitasnya relatif lebih mudah diperoleh. Data kegagalan untuk sistem secara keseluruhan diperoleh dari teknik reliability assesment.

Aplikasi Distribusi Binomial

Distribusi Probabilitas

Fungsi distribusi diskrit didapatkan dengan penjumlahan.
Fungsi distribusi kontinyu diperoleh dengan mengintegralkan secara numerik fungsi massa (densitas).

Bilangan random mengikuti salah satu dari distribusi

Perilaku acak dari sebuah sistem diwakili oleh satu atau lebih parameter disamping distribusinya, seperti:

Rata-rata atau nilai yang diharapkan <– Momen pertama distribusi
Varian dan deviasi standar <– Momen kedua distribusi

Distribusi binomial masuk dalam kategori variabel random diskrit. Dengan penerapan distribusi binomial, solusi dari permasalahan reliability yang rumit menjadi lebih mudah. Jika kita menghubungkan probabilitas keberhasilan p dan kegagalan q dengan konsep binomial maka untuk sebuah n kali (jumlah n tetap) percobaan,

distribusi binomialnya = $(p + q)^{n}$ .

Kondisi lain yang harus dipenuhi :

p + q = 1 (cuma boleh ada 2 kemungkinan keluaran, berhasil dan gagal / hidup dan mati dsb)
nilai p dan q, masing-masing konstan
percobaan harus independen

Agar kita dapat mengevaluasi hasil-hasil keluaran dan probabilitasnya, kita perlu menurunkan $(p + q)^{n}$ menjadi :

Contoh 1 (p = q = 0.5)

Sebuah koin dilempar 5 kali. Evaluasi probabilitas masing-masing keluaran yang mungkin.

Jumlah Sisi		Formula Binomial	Probabilitas Individu	Probabilitas Kumulatif
Angka	Burung	Formula Binomial	Probabilitas Individu	Probabilitas Kumulatif
0	5	₅C₀(½)⁰(½)⁵	1/32	1/32
1	4	₅C₁(½)¹(½)⁴	5/32	6/32
2	3	₅C₂(½)²(½)³	10/32	16/32
3	2	₅C₃(½)³(½)²	10/32	26/32
4	1	₅C₄(½)⁴(½)¹	5/32	31/32
5	0	₅C₅(½)⁵(½)⁰	1/32	32/32
			Σ = 1

Contoh cara menghitung kombinasi₅C₃

$= \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 (2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

Contoh 2 (p ≠ q)

Sebuah pembangkit listrik berskala kecil akan dibangun untuk memenuhi kebutuhan beban 10 MW konstan. Designer sistem ini mempertimbangkan 4 kemungkinan konfigurasi unit-unit (mesin) di dalam pembangkit tersebut. Asumsi untuk unit-unit dalam pembangkit tsb. Forced Outage Rate (FOR) = 0.02.

1 unit x 10 MW
2 unit x 10 MW
3 unit x 5 MW
4 unit x 3 $\frac{1}{3}$ MW

Jawaban Contoh 2

Dalam lingkup sederhana, kita mengaplikasikan distribusi binomial pada dua keadaan pembangkit, yaitu :

Pembangkit tidak siap (outage), misal dilambangkan dengan p = FOR = 0.02
Pembangkit siap (available), misal dilambangkan dengan q = 1 - FOR = 0.98

Dalam praktek, dengan perhitungan yang lebih teliti, biasanya dinyatakan dalam EAF (Equivalent Availability Factor) danEFOR (Equivalent Forced Outage Rate).

Pada rumus binomial :

$(p + q)^{n}= \sum_{r=0}^{n} {}_{n}C_{r}p^{r}q^{n-r}$

nilai p = 0.02, q = 0.98,
r = 0, 1, … sampai dengan n,
n = 1 (kasus 1), n = 2 (kasus 2), n = 3 (kasus 3), n = 4 (kasus 4).

Misal untuk yang (b) / kasus 2,

$(p + q)^{n}=\sum_{r=0}^{2}{}_{2}C_{r}(0.02)^{r}(0.98)^{(2-r)}$

$={}_{2}C_{0}(0.02)^{0}(0.98)^{(2-0)}+{}_{2}C_{1}(0.02)^{1}(0.98)^{(2-1)}+{}_{2}C_{2}(0.02)^{2}(0.98)^{(2-2)}$

$={}_{2}C_{0}(0.98)^{2}+{}_{2}C_{1}(0.02)(0.98)+{}_{2}C_{2}(0.02)^{2}$

$=0.9604+0.0392+0.0004$

Jika kita masukkan satu persatu nilai2 tsb., maka hasilnya dapat ditabulasikan dalam tabel COP (capacity outage probability) sbb. :

Capacity Outage Probability Tables

		Units out	Capacity, MW		Individual probability
			Out	Available
—–	——————–	————–	————–	————–	——————
(a)	1 x 10 MW unit
		0	0	10	0.98
		1	10	0	0.02
					1.00
(b)	2 x 10 MW units
		0	0	20	0.9604
		1	10	10	0.0392
		2	20	0	0.0004
					1.0000
(c)	3 x 5 MW units
		0	0	15	0.941192
		1	5	10	0.057624
		2	10	5	0.001176
		3	15	0	0.000008
					1.000000
(d)	4 x 3 $\frac{1}{3}$ MW units
		0	0	13 $\frac{1}{3}$	0.92236816
		1	3 $\frac{1}{3}$	10	0.07529536
		2	6 $\frac{2}{3}$	6 $\frac{2}{3}$	0.00230496
		3	10	3 $\frac{1}{3}$	0.00003136
		4	13 $\frac{1}{3}$	0	0.00000016
					1.00000000

Bagaimana dengan interpretasi tabel COP ini ?

Pemilik (owner) sistem berbeban 10 MW ini tentu mengharapkan, pembangkit listrik yang dibangun dapat memenuhi kebutuhannya minimal 10 MW dengan keandalan setinggi mungkin. Dengan data probabilitas ini, si desainer sistem memberitahu si owner bahwa alternatif-alternatif tsb. akan mampu mensuplai minimal 10 MW (x ≥ 10 MW) dengan probabilitas :

Alternatif (a) = 0.98
Alternatif (b) = 0.960 + 0.039 = 0.999
Alternatif (c) = 0.941 + 0.057 = 0.998
Alternatif (d) = 0.922 + 0.075 = 0.997

Si owner tentu saja langsung memilih alternatif (b) yang tingkat keandalannya paling tinggi. Namun demikian, paparan dari si desainer belum selesai, investasi awal untuk membangun pembangkit ini disebutkan US$ 1 juta / MW, sehinggaacquisition costs yang harus dikeluarkan untuk alternatif :

(a) = US$ 10 juta
(b) = US$ 20 juta
(c) = US$ 15 juta
(d) = US$ 13 $\frac{1}{3}$ juta

Si owner kemudian pikir-pikir dan membatalkan keputusannya memilih alternatif (b) dan memilih alternatif (d). Keputusan akhir ini tidak selalu fix, bisa berubah-ubah bergantung pada optimalisasi tujuan (objective) si owner sebagai fungsi dari keandalan dan biaya dengan batasan (constraint) yang mungkin tidak sepenuhnya diketahui si desainer. Disini lah maksud dari trade-off antara reliability vs cost, yang jika diungkapkan secara matematis sebagai optimisasi :optimization, or mathematical programming, refers to choosing the best element from some set of available alternatives.

Dari tabel diatas juga dapat diinterpretasikan berapa MW yang kemungkinan hilang ketika melayani beban 10 MW(expected load loss).

	Kapasitas Unit yang Keluar (MW)	Probabilitas	Kehilangan Beban untuk Melayani 10 MW (MW)	Expected Load Loss (MW)
(a)	1 x 10 MW unit
	0	0.98	0	-
	10	0.02	10	0.2
				0.2
(b)	2 x 10 MW units
	0	0.9604	0	-
	10	0.0392	0	-
	20	0.0004	10	0.004
				0.004 MW
(c)	3 x 5 MW units
	0	0.941192	0	-
	5	0.057624	0	-
	10	0.001176	5	0.00588
	15	0.000008	10	0.00008
				0.00596 MW
(d)	4 x 3 $\frac{1}{3}$ MW units
	0	0.92236816	0	-
	3 $\frac{1}{3}$	0.07529536	0	-
	6 $\frac{2}{3}$	0.00230496	3 $\frac{1}{3}$	0.00768320
	10	0.00003136	6 $\frac{2}{3}$	0.00020907
	13 $\frac{1}{3}$	0.00000016	10	0.00000160
				0.00789387 MW

Misal untuk kasus yang (c) :

Ketika unit 0 MW keluar, tidak ada (0 MW) kehilangan beban.
Ketika unit 5 MW keluar, beban 10 MW tetap terlayani (tidak ada kehilangan beban).
Ketika 2 unit, total 10 MW keluar, ada 5 MW yang tidak terlayani dari 10 MW yang dibutuhkan.
Ketika semua unit, total 15 MW keluar, semua (10 MW) beban tidak terlayani.

Kesimpulannya, jika ada 3 unit x 5 MW dengan FOR = 0.02 melayani beban 10 MW, maka dari 10 MW tersebut, 0.00596 MW beban akan tidak terlayani (expected load loss).

Pertanyaan berikutnya adalah, bagaimana jika kita dihadapkan pada kasus besarnya unit pembangkit tidak sama / tidak identik, apa yang harus kita lakukan ?

Kita akan belajar menggunakan teknik recursive untuk membangun tabel COP kita pada tulisan yang akan datang.